Resolvendo Expressões Complexas Com 'i': Passo A Passo

Ei pessoal! Já se depararam com uma daquelas expressões matemáticas que parecem um bicho de sete cabeças? Pois bem, hoje vamos encarar uma dessas e mostrar que, com o passo a passo certo, ela não é tão assustadora assim. Nossa missão é descobrir o valor da seguinte expressão:

[(1 + i) ^ 80 * (1 + i) ^ 82] / (i ^ 96) * 0,2 ^ 40

Onde 'i' é a famosa unidade imaginária. Parece complicado? Calma, vamos juntos nessa!

Simplificando a Expressão: O Guia Definitivo

1. Explorando a Unidade Imaginária (i)

Antes de mais nada, é crucial entendermos o que é essa tal unidade imaginária. O 'i' é definido como a raiz quadrada de -1 (i = √-1). Essa pequena notação abre um mundo de possibilidades na matemática, permitindo-nos lidar com números complexos. Mas por que isso é importante para nossa expressão? Porque 'i' tem um comportamento cíclico quando elevado a diferentes potências. Vamos dar uma olhada:

• i^1 = i
• i^2 = -1
• i^3 = -i
• i^4 = 1

Percebem o padrão? A cada quatro potências, o resultado se repete. Isso significa que podemos simplificar potências altas de 'i' encontrando o resto da divisão do expoente por 4. No nosso caso, temos i^96. Como 96 é divisível por 4 (96 / 4 = 24), então i^96 é igual a 1. Essa é a primeira peça do nosso quebra-cabeça!

2. Simplificando (1 + i)

Agora, vamos encarar o termo (1 + i). Ele aparece duas vezes na nossa expressão, elevado a potências altas. Para simplificá-lo, vamos explorar um pouco mais a fundo os números complexos. Podemos representar (1 + i) na forma polar, que nos ajudará a lidar com as potências de forma mais elegante. A forma polar de um número complexo é dada por:

r(cos θ + i sen θ)

Onde 'r' é o módulo do número complexo e 'θ' é o argumento. Para (1 + i), o módulo 'r' é calculado como a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária:

r = √(1^2 + 1^2) = √2

E o argumento 'θ' é o ângulo cuja tangente é a parte imaginária dividida pela parte real:

tan θ = 1 / 1 = 1

O ângulo cuja tangente é 1 é 45 graus, ou π/4 radianos. Portanto, podemos escrever (1 + i) na forma polar como:

√2 (cos(π/4) + i sen(π/4))

Agora, a mágica acontece! Usando a Fórmula de De Moivre, que diz que [r(cos θ + i sen θ)]^n = r^n (cos(nθ) + i sen(nθ)), podemos elevar (1 + i) a qualquer potência de forma relativamente simples.

3. Aplicando a Fórmula de De Moivre

Vamos aplicar a Fórmula de De Moivre para (1 + i)^80 e (1 + i)^82. Primeiro, para (1 + i)^80:

(1 + i)^80 = [√2 (cos(π/4) + i sen(π/4))]^80

= (√2)^80 (cos(80 * π/4) + i sen(80 * π/4))

= 2^40 (cos(20π) + i sen(20π))

Como cos(20π) = 1 e sen(20π) = 0, temos:

(1 + i)^80 = 2^40

Agora, para (1 + i)^82:

(1 + i)^82 = [√2 (cos(π/4) + i sen(π/4))]^82

= (√2)^82 (cos(82 * π/4) + i sen(82 * π/4))

= 2^41 (cos(41π/2) + i sen(41π/2))

= 2^41 (cos(π/2) + i sen(π/2))

Como cos(π/2) = 0 e sen(π/2) = 1, temos:

(1 + i)^82 = 2^41 * i

4. Juntando as Peças

Agora que simplificamos as potências de (1 + i) e i^96, podemos substituir esses valores na expressão original:

[(1 + i)^80 * (1 + i)^82] / (i^96) * 0,2^40

= [2^40 * 2^41 * i] / 1 * 0,2^40

= 2^81 * i * 0,2^40

5. Simplificando 0,2^40

Podemos reescrever 0,2 como 1/5, então:

0,2^40 = (1/5)^40 = 1 / 5^40

E como 5 = 2^(log2(5)), temos:

5^40 = (2^(log2(5)))^40 = 2^(40 * log2(5))

Substituindo de volta na expressão:

2^81 * i * (1 / 2^(40 * log2(5)))

= (2^81 * i) / 2^(40 * log2(5))

= 2^(81 - 40 * log2(5)) * i

6. O Valor Final

Para termos uma ideia melhor do valor, podemos aproximar log2(5) como 2,32. Então:

81 - 40 * log2(5) ≈ 81 - 40 * 2,32 ≈ 81 - 92,8 ≈ -11,8

Portanto, o valor aproximado da expressão é:

2^(-11,8) * i ≈ 0,0002 * i

Conclusão

Ufa! Chegamos ao fim. Simplificamos uma expressão complexa que parecia intimidadora, utilizando conceitos como a unidade imaginária, a forma polar de números complexos e a Fórmula de De Moivre. O resultado final é um número imaginário muito pequeno, aproximadamente 0,0002i.

Espero que este guia passo a passo tenha ajudado vocês a entenderem como lidar com expressões complexas. Lembrem-se, a chave é quebrar o problema em partes menores e aplicar os conceitos corretos. Até a próxima!